Un modèle pour la propagation d'un tsunami est un système d'équations qui décrit comment l'état fluide change. Les variables qui doivent être calculées pour un tsunami sont :
(h) la propfondeur d'eau et
(u) la vitesse du fluide
Les équations d'eau peu profonde dûes à Saint-Venant (1871) sont bien adaptées à la description de la propagation d'une vague de tsunami :
\[\left\{ \begin{array}{lcr} \frac{\partial h}{\partial t} + \nabla .(hu) = 0 \\ \frac{\partial hu}{\partial t} + \nabla .(hu \otimes u) + \nabla \frac{gh^2}{2} = - gh \nabla z \\ \end{array} \right.\]
(g) est la constante gravitationnelle
(z) représente le fond marin
La première équation exprime la conservation de la masse du fluide, en d'autres mots la variation en temps de la profondeur d'eau h (c'est-à-dire dh/dt) doit compenser le flux de masse. La seconde équation représente le principe fondamental de la dynamique, qui dit que l'accélération du fluide multiplié à sa masse est égal à la somme des forces extérieures, ici la gravité. La résolution de ces équations requiert la connaissance de la topographie du fond marin z dans la zone d'intérêt, et de la modification locale de z causée par le séisme. Malheureusement, ces équations ne peuvent pas être résolues analytiquement (à la main) et des algorithmes calculant des solutions approximées ont dûs être dérivés.
Comment simplifier un modèle mathématique pour la résolution numérique?
Le système d'équations décrit ci-dessus est un modèle simplifié des équations complètes de la mécanique des fluides. Les équations complètes de la mécanique des fluides sont extrêmement complexes (trois dimensions et une variation dans le temps). Il est indispensable de les simplifier selon le phénomène physique étudié. Il faut donc évaluer la pertinence de chaque paramètre. Par exemple, dans le cas de la propagation du tsunami, on peut se demander ce qui est important de garder. Par exemple pour savoir si les forces visqueuses sont importantes, on introduit un nombre sans dimension, le nombre de Reynolds. Si ce nombre est grand, ce qui est le cas pour les tsunamis, on considère que l'on peut négliger les forces visqueuses. Comme on l'a vu précedemment, le rapport entre la profondeur de l'eau et la longueur d'onde du phénomène permet dans le cas du tsunami de faire l'approximation d'un écoulement peu profond. Enfin certaines données peuvent être négligées pour certains tsunamis mais pas pour d'autres. Ainsi, par exemple la force de Coriolis, dûe à la rotation de la Terre peut certainement être négligée si le tsunami se déplace sur une faible distance (par exemple la mer Méditerrannée), mais peut-être pas s'il se propage dans l'océan Pacifique. Toutes ces considérations permettent de simplifier considérablement les équations, pour permettre une résolution numérique moins coûteuse en temps.Les équations posées, il faut vérifier que les conditions d'existence d'unicité et de stabilité sont vérifiées. Il faut donc que pour des conditions initiales données, il existe une solution, qu'elle soit unique, et qu'elle ne change pas trop si l'on change légérement le conditions initiales.